wz
Lineární rovnice


Rovnice ax + b = 0, kde a, b náleží oboru reálných čísel a a se nerovná 0, se nazývá lineární rovnice s neznámou x. Lineární se často nazývají i mnohé další rovnice, které lze snadno na rovnici ve tvaru ax + b = 0 převést. Lineární rovnice řešíme pomocí ekvivalentních úprav.

Ekvivalentní úpravy rovnic

Ekvivalentní úpravy jsou takové, které převádějí každou rovnici na rovnici s ní ekvivalentní, tj. zachovávají množiny všech řešení.
  1. výměna levé a pravé strany rovnice
  2. přičtení téhož čísla k oběma stranám rovnice
  3. přičtení téhož násobku neznámé k oběma stranám rovnice
  4. odečtení téhož čísla od obou stran rovnice
  5. odečtení téhož násobku neznámé od obu stran rovnice
  6. vynásobení obou stran rovnice stejným nenulovým číslem
  7. vydělení obou stran rovnice stejným nenulovým číslem
  8. úpravy výrazů na jednotlivých stranách rovnice

Proměnná (x,y,z…) v rovnici se nazývá neznámá.

Řešit rovnice znamená najít taková čísla, která z ní po dosazení do rovnice za neznámou vytvoří platnou rovnost. Každé takové číslo nazýváme kořenem nebo řešením dané rovnice.

Zkouškou nazýváme kontrolu správnosti řešení, kterou provedeme dosazením kořenů do původní rovnice.

Výraz ax + b, kde a,b náleží oboru reálných čísel, a se nerovná 0, se nazývá lineární dvojčlen.

Při řešení rovnic členy s neznámou převedeme na jednu stranu rovnice a členy bez neznámé na druhou stranu rovnice.



Možné výsledky řešení lineárních rovnic:

Rovnice má jedno řešení : x = -b / a , x náleží R Lineární rovnice ax + b = 0 má v množině R jedno řešení jestliže: x = - b / a. ( rovnici vyhovuje právě jedno řešení)

5 {5 [ 5 ( 5x – 4) – 4 ] – 4 } = 5
5 {5 [ 25x – 20 – 4 ] – 4 } = 5
5 {125x – 100 – 20 ] – 4 } = 5
5 {125x – 100 – 20 ] – 4 } = 5
625x – 500 – 100 – 20 = 5
625x = 625
x = 1
L = 5 {5 [ 5 ( 5 • 1 – 4) – 4 ] – 4 }
L = 5 {5 [ 5 ( 1 ) – 4 ] – 4 }
L = 5 {5 [ 5 – 4 ] – 4 }
L = 5 {5 – 4 }
P = 5

L = P

Rovnice nemá žádné řešení : 0x = -b , x náleží R Pokud rovnici nevyhovuje žádné číslo x, nemá daná rovnice žádné řešení. Jinak řečeno, množina všech řešení dané rovnice je prázdná. 0x = - b V rovnici s neznámou x se neznámá nemusí vůbec vyskytovat. Rovnice s neznámou x nemá žádné řešení, neboť pro žádné reálné číslo x neplatí 17 = 0.

(3 / 2) x + 1 – x = (1 / 2) x | • 2
3 x + 2 – 2 x = x
0 x = - 2

Rovnice má nekonečně mnoho řešení : 0x = 0 , x náleží R Rovnice může být splněna pro každé reálné číslo x neboť množina všech jejích řešení je množina reálných čísel. Rovnici 0 x = 0 můžeme zapsat ve tvaru 0 = 0.

x?2 - ?3 = -( ?3 - x?2)
x?2 - ?3 = - ?3 + x?2
0x + 0 = 0
0 = 0



Rovnice v součinovém a podílovém tvaru:

Rovnice v součinovém tvaru

Rovnice v součinovém tvaru jsou rovnice, jenž mají tvar „součin dvou nebo více lineárních dvojčlenů rovná se nule“. Existují i rovnice, které lze ekvivalentními úpravami na tento tvar rovnice převést.

Při hledání kořenů budeme řešit lineární rovnice, přičemž platí: Součin několika čísel se rovná nule právě tehdy, když alespoň jeden z činitelů se rovná nule.

(x – 2 )(3 – x) = 0 součin je nulový jestliže: x = 2 nebo x = 3

Rovnice v podílovém tvaru

Rovnice v podílovém tvaru jsou rovnice, které mají tvar „zlomek, v jehož čitateli i jmenovateli je lineární dvojčlen nebo součin několika lineárních dvojčlenů se rovná nule“. Jedná se také o rovnice, které lze na takové rovnice ekvivalentními úpravami převést.

Při řešení takovéto rovnice vynásobíme obě strany rovnice stejným výrazem obsahujícím neznámou, který je definován a různý od nuly pro všechny hodnoty neznámé z množiny čísel v níž rovnici řešíme.

(x – 2) / (3 – x) = 0 podíl je nulový, jestliže čitatel se rovná nule:x = 2



Grafické řešení lineárních rovnic

Při grafickém řešení lineární rovnice ax + b = 0 sestrojíme graf lineární funkce f: y = ax + b a určíme x-ovou souřadnici průsečíku X[x0 ; 0] grafu s osou x. Tato souřadnice x0 je řešením dané rovnice.(Obr.A)

Řešíme-li graficky lineární rovnici l(x) = p(x), kde l(x) a p(x) jsou lineární dvojčleny např.:(2x + 1) = (-x + 3) , můžeme ji nejprve převést na ekvivalentní rovnici (ax + b = 0) a tu graficky vyřešit. Také můžeme sestrojit přímky o rovnicích y = l(x) a y = p(x). Jsou-li různoběžné, určíme x-ovou souřadnici jejich průsečíku X[x0; y0]; x0 je jediným řešením rovnice.(Obr.B)

Jsou-li přímky rovnoběžné různé, nemá rovnice žádné řešení. (Obr.C)

Splývají-li obě přímky, je každé reálné číslo řešením rovnice. (Obr.D)



Lineární rovnice se dvěma neznámými

Rovnice ax + by = c, kde a, b, c náleží množině reálných čísel se nazývá lineární rovnice se dvěma neznámými x, y.

Lineární rovnice se dvěma neznámými x, y jsou i mnohé další rovnice, které lze na rovnici tvaru ax + by = c převést ekvivalentními úpravami. Přitom ekvivalentní úpravy pro rovnice se dvěma neznámými jsou stejné jako ekvivalentní úpravy pro rovnice s jednou neznámou.

Platí: V případě, kdy alespoň jeden z koeficientů a, b v rovnici je nenulový, je obrazem množiny všech jejích řešení přímka.

Jestliže:

a = 0, je tato přímka rovnoběžná s osou x (Obr.A)
b = 0, je rovnoběžná s osou y (Obr.B)
c = 0, prochází tato přímka počátkem soustavy souřadnic (Obr.C)

V případě, že a = b = 0 , potom záleží na čísle c.

Jestliže:

c = 0 , je řešením každá uspořádaná dvojice reálných čísel x,y
c se nerovná 0 , nemá rovnice žádné řešení



© 2007 Jan Kotěšovec