wz
Soustavy lineárních rovnic


Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými

Soustava rovnic

a1x + b1 y = c1,
a 2x + b2y = c2,

kde a1, b1, c1, a2, b2, c2, náleží množině reálných čísel, se nazývá soustava dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými x, y. Řešením této soustavy nazýváme každou uspořádanou dvojici (x0; y0 ), která je řešením obou jejích rovnic.

Při řešení používáme tyto úpravy:

  1. Ekvivalentní úpravy jednotlivých rovnic
  2. Dosazení výrazu, kterým z jedné rovnice vyjádříme některou neznámou pomocí druhé neznámé, za příslušnou neznámou do zbývající rovnice soustavy (Dosazovací metoda)
  3. Vynásobení některé rovnice soustavy nenulovým číslem a současné přičtení násobku zbývající rovnice soustavy k této (vynásobené) rovnici. (Sčítací metoda)


Dosazovací metoda

Spočívá v tom, že z některé z obou rovnic vyjádříme neznámou, u níž je nenulový koeficient, pomocí druhé neznámé a příslušný výraz za ni dosadíme do zbývající rovnice. Získáme tak lineární rovnici s jednou neznámou.

Př:

3x + 2y = 20 => x = (20 / 2y) / 3
2x + 3y = 20

2[(20 –2y) / 3] + 3y = 20
(40 – 4y) / 3 + 3y = 20 | • 3
40 – 4y + 9y = 60
5y = 20
y = 4

x = (20 – 2 • 4) / 3
x = 4

Zk:
L1 = 3 • 4 + 2• 4 P1 = 20
L1 = 20
L1 = P1
L2 = 2 • 4 + 3 • 4 P2 = 2
L2 = 20
L2 = P2



Sčítací metoda

Sčítací metoda pro řešení dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými x, y spočívá v tom, že některou rovnici vynásobíme vhodným nenulovým číslem a přičteme k ní vhodný násobek zbývající rovnice soustavy tak, aby jedna neznámá zmizela. Může se ovšem stát, že přitom zmizí i druhá neznámá. Příslušná soustava je v takovém případě ekvivalentní se soustavou dvou lineárních rovnic, z nichž jedna má tvar: 0 . x + 0 . y = d, kde d náleží R.

Př:

3x + 2y = 20 | • 2
2x + 3y = 20 | • (- 3 )
6x + 4y = 40
-6x – 9y = -60
-5y = - 20
y = 4

3x + 2 • 4 = 20
3x = 12
x = 4

Zk:
L1 = 3 • 4 + 2• 4 P1 = 20
L1 = 20
L1 = P1
L2 = 2 • 4 + 3 • 4 P2 = 20
L2 = 20
L2 = P2

Soustava dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými může mít buď jedno řešení, nebo nekonečně mnoho řešení, nebo nemá žádné řešení.



Soustavy lineárních rovnic s více neznámými

Pří řešení lineárních soustav s více neznámými se používají stejné ekvivalentní úpravy jako pro soustavy se dvěma neznámými , a navíc i některé další:

  1. Ekvivalentní úpravy jednotlivých rovnic soustavy
  2. Dosazení výrazu, kterým z jedné rovnice vyjádříme některou neznámou pomocí ostatních neznámých, za příslušnou neznámou do jiné rovnice (dosazovací metoda)
  3. Přičtením násobku některé rovnice soustavy k jiné rovnici této soustavy nebo k jejímu nenulovému násobku (sčítací metoda)
  4. Záměna pořadí rovnic
  5. Vynechání rovnice, která je násobkem jiné rovnice soustavy (zvláštním případem je vynechání rovnice, která je nulovým násobkem jiné rovnice soustavy, tj. vynechání rovnice typu 0x +0y + 0y = 0)
x + y +2z = -1 | • (- 2) | • (- 4)
2x –y + 2z = - 4
4x + y +4z = -2
-3y – 2z = -2 | • (- 1)
-3y –4z = 2
-2z = 4
z = -2
x + 2 + 2• (- 2) = -1
x + 2 –4 = -1
x = 1

3y + 2• (- 2) = 2
3y = 6
y= 2

L1 = x + y + 2z
L1 = 1 + 2 –4
L1 = -1
P1 = -1
L1 = P1
L2 = 2x – y + 2z
L2 = 2 – 2 – 4
L2 = -4
P2 = - 4
L2 = P2
L3 = 4x + y + 4z
L3 = 4 + 2 –8
L3 = -2
P3 = - 2
L3 = P3


Gaussova eliminační metoda

Popis postupu při řešení soustavy tří lineárních rovnic se třemi neznámými:

  1. Soustavu upravíme tak, aby v první rovnici byl u neznámé, kterou zapisujeme jako první, nenulový koeficient. Pokud tomu tak není přímo v dané soustavě, změníme pořadí rovnic, popř. změníme pořadí, v němž v rovnicích zapisujeme neznámé.

    x + y +2z = -1
    2x –y + 2z = - 4
    4x + y +4z = -2
  2. První rovnici opíšeme, ke druhé a třetí rovnici nebo k jejich nenulovým násobkům přičteme takové násobky první rovnice, aby v obou těchto rovnicích neznámá zapisovaná jako první zmizela.

    x + y +2z = -1 | • (- 2) | • (- 4)
    2x –y + 2z = - 4
    4x + y +4z = -2

  3. Soustavu upravíme tak, aby v druhé rovnici byl u neznámé, kterou zapisujeme jako druhou, nenulový koeficient. Pokud to je potřebné, můžeme navzájem vyměnit druhou a třetí rovnici nebo změnit pořadí zápisu druhé a třetí neznámé.

    x +y + 2z = -1
    -3y – 2z = -2 | • (- 1)
    -3y –4z = 2

  4. První a druhou rovnici opíšeme, k třetí rovnici nebo k jejímu nenulovému násobku přičteme takový násobek druhé rovnice, aby v ní neznámá zapisovaná jako druhá zmizela.

    -2z = 4
    z = -2

x + 2 + 2• (- 2) = -1
x + 2 –4 = -1
x=1
3y + 2• (- 2) = 2
3y = 6
y=2
L1 = x + y + 2z
L1 = 1 + 2 –4
L1 = -1
P1 = -1
L1 = P1
L2 = 2x – y + 2z
L2 = 2 – 2 – 4
L2 = -4
P2 = - 4
L2 = P2
L3 = 4x + y + 4z
L3 = 4 + 2 –8
L3 = -2
P3 = - 2
L3 = P3

Může se stát, že při popisovaných výpočtech dostaneme rovnici tvaru:

0x + 0y + 0z = d

Jestliže:
d se nerovná 0, daná soustava nemá žádné řešení
d = 0, potom tuto rovnici vynecháme

Z toho vyplývá, že soustava tří lineárních rovnic se třemi neznámými má buď právě jedno řešení, nebo má nekonečně mnoho řešení, nebo nemá žádné řešení.



© 2007 Jan Kotěšovec